Линейная интерполяция: калькулятор онлайн

Что такое линейная интерполяция

Линейная интерполяция — это математический метод нахождения промежуточного значения функции между двумя известными точками. Метод предполагает, что между этими точками зависимость изменяется линейно, то есть по прямой линии.

Представьте ситуацию: у вас есть таблица температур — в 10:00 было +15°C, а в 12:00 стало +19°C. Какая температура была в 11:00? Линейная интерполяция позволяет найти это промежуточное значение, предполагая, что температура росла равномерно.

Этот метод широко применяется в науке, технике и повседневных расчетах, когда нужно получить приблизительное значение между известными данными.

Формула линейной интерполяции

Формула для расчета промежуточного значения выглядит так:

y = y₁ + (x - x₁) × (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Где:

• (x₁, y₁) — координаты первой известной точки
• (x₂, y₂) — координаты второй известной точки
• x — значение, для которого ищем y
• y — искомое промежуточное значение

Формулу можно представить и в другом виде:

y = y₁ + (y₂ - y₁) × (x - x₁) / (x₂ - x₁)

Оба варианта дают одинаковый результат. Выбирайте тот, который вам удобнее.

Как пользоваться калькулятором линейной интерполяции

Онлайн калькулятор упрощает расчеты и позволяет быстро найти промежуточное значение:

1. Введите координаты первой точки — значения x₁ и y₁
2. Введите координаты второй точки — значения x₂ и y₂
3. Укажите значение x — точку, для которой нужно найти y
4. Нажмите кнопку расчета — калькулятор автоматически применит формулу

Калькулятор проверяет корректность данных. Значение x должно находиться между x₁ и x₂ для получения точного результата интерполяции.

Примеры расчета линейной интерполяции

Пример 1: Расчет температуры

Условие: В 09:00 температура составила +12°C, в 15:00 — +24°C. Найдите температуру в 11:00.

Решение:

• x₁ = 9, y₁ = 12 (первая точка: 09:00 и +12°C)
• x₂ = 15, y₂ = 24 (вторая точка: 15:00 и +24°C)
• x = 11 (ищем температуру в 11:00)

Применяем формулу:

y = 12 + (11 - 9) × (24 - 12) / (15 - 9)

y = 12 + 2 × 12 / 6 = 12 + 4 = 16

Ответ: В 11:00 температура составила примерно +16°C.

Пример 2: Инженерный расчет

Условие: При давлении 2 атм объем газа равен 50 литров, при 5 атм — 35 литров. Каков объем при 3.5 атм?

Решение:

• x₁ = 2, y₁ = 50
• x₂ = 5, y₂ = 35
• x = 3.5

y = 50 + (3.5 - 2) × (35 - 50) / (5 - 2)

y = 50 + 1.5 × (-15) / 3 = 50 - 7.5 = 42.5

Ответ: При давлении 3.5 атм объем составит примерно 42.5 литра.

Пример 3: Финансовые расчеты

Условие: В январе доход составил 80 000 рублей, в апреле — 95 000 рублей. Оцените доход в марте (третий месяц).

Решение:

• x₁ = 1, y₁ = 80 000 (январь)
• x₂ = 4, y₂ = 95 000 (апрель)
• x = 3 (март)

y = 80 000 + (3 - 1) × (95 000 - 80 000) / (4 - 1)

y = 80 000 + 2 × 15 000 / 3 = 80 000 + 10 000 = 90 000

Ответ: Ожидаемый доход в марте — 90 000 рублей.

Где применяется линейная интерполяция

Наука и техника

Линейная интерполяция используется в инженерных расчетах для нахождения промежуточных значений в таблицах и графиках. Инженеры применяют метод при работе со справочными данными, когда нужного значения нет в таблице.

Компьютерная графика

В обработке изображений линейная интерполяция помогает изменять размер картинок, сглаживать пиксели и создавать переходы между цветами. Метод обеспечивает быструю и приемлемую по качеству обработку.

Метеорология

Метеорологи используют интерполяцию для расчета промежуточных значений температуры, давления, влажности между измерениями. Это помогает строить более точные прогнозы погоды.

Финансовый анализ

В финансах метод применяется для оценки промежуточных значений доходности, курсов валют, процентных ставок. Аналитики получают данные для периодов между официальными отчетами.

Обработка данных

При работе с экспериментальными данными линейная интерполяция заполняет пропуски в измерениях и помогает восстановить недостающие значения.

Особенности и ограничения метода

Преимущества линейной интерполяции

Простота расчета — формула понятна и легко применяется вручную или в программе.

Быстрота вычислений — метод требует минимум операций, что важно для больших объемов данных.

Надежность — на малых интервалах линейная интерполяция дает хорошие результаты для большинства функций.

Универсальность — метод работает с любыми числовыми данными независимо от области применения.

Ограничения метода

Подходит для коротких интервалов — чем больше расстояние между точками, тем выше погрешность для нелинейных функций.

Предполагает линейность — если реальная зависимость нелинейна, результат будет приблизительным.

Не учитывает кривизну — для функций с изгибами лучше использовать полиномиальную или сплайн-интерполяцию.

Точность на краях — результаты более точны в середине интервала, чем у границ.

Советы по использованию

Проверяйте характер данных — если зависимость явно нелинейная (парабола, экспонента), линейная интерполяция даст большую погрешность.

Используйте близкие точки — чем меньше интервал между известными значениями, тем точнее результат.

Сравнивайте с реальностью — полученное значение должно логически укладываться в диапазон между известными точками.

Округляйте разумно — точность результата не может быть выше точности исходных данных.

Учитывайте контекст — в некоторых задачах линейное приближение вполне достаточно, в других требуются более сложные методы.

Линейная интерполяция — это базовый и эффективный инструмент для работы с данными, который помогает находить промежуточные значения быстро и с приемлемой точностью.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.