Сумма углов равнобедренного треугольника

Главное свойство равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две боковые стороны имеют одинаковую длину. Благодаря этому свойству:

• Углы при основании равны — это два угла, противолежащие равным боковым сторонам
• Углы при вершине и основании в сумме дают 180° — как и в любом треугольнике

Обозначим углы:

• β (бета) — углы при основании (они равны: ∠A = ∠B = β)
• α (альфа) — угол при вершине: ∠C = α

Тогда: α + β + β = 180° или α + 2β = 180°

Как найти углы равнобедренного треугольника

Формулы расчёта

Пошаговый расчет

Пример 1: найти углы при основании, если угол при вершине = 60°

1. Используем формулу: β = (180° − 60°) ÷ 2
2. β = 120° ÷ 2 = 60°
3. Все углы треугольника: 60°, 60°, 60° (это равносторонний треугольник)

Пример 2: найти угол при вершине, если углы при основании = 70° каждый

1. Используем формулу: α = 180° − 2 × 70°
2. α = 180° − 140° = 40°
3. Все углы: 40°, 70°, 70°

Пример 3: найти все углы равнобедренного треугольника, если угол при основании = 45°

1. Второй угол при основании тоже = 45°
2. Угол при вершине: α = 180° − 2 × 45° = 180° − 90° = 90°
3. Это прямоугольный равнобедренный треугольник

Частные случаи равнобедренных треугольников

Равносторонний треугольник

Это частный случай равнобедренного, где все три стороны равны:

• Все углы равны: 60° + 60° + 60° = 180°

Прямоугольный равнобедренный треугольник

• Углы: 90° + 45° + 45° = 180°
• Прямой угол находится при вершине, углы при основании по 45°

Тупоугольный равнобедренный треугольник

• Угол при вершине больше 90° (тупой)
• Углы при основании острые и равны

Практические примеры

Задача 1: В равнобедренном треугольнике угол при вершине на 30° больше угла при основании. Найти все углы.

Решение:

• Пусть угол при основании = β, тогда при вершине = β + 30°
• Уравнение: β + β + (β + 30°) = 180°
• 3β + 30° = 180°
• 3β = 150°
• β = 50° (углы при основании)
• α = 50° + 30° = 80° (угол при вершине)
• Проверка: 80° + 50° + 50° = 180° ✓

Задача 2: Углы при основании равнобедренного треугольника составляют 65° каждый. Найти третий угол.

Решение:

• α = 180° − 2 × 65° = 180° − 130° = 50°

Важные свойства и теоремы

• Теорема о сумме углов треугольника: сумма любых трёх углов треугольника всегда равна 180°
• Свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны между собой
• Медиана, высота и биссектриса: в равнобедренном треугольнике линия, проведённая из вершины к основанию, одновременно является медианой, высотой и биссектрисой
• Внешний угол: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним

Типичные ошибки при расчёте

✗ Ошибка 1: Путают углы при вершине и при основании — это приводит к неправильным формулам.

✓ Правильно: Запомните — в равнобедренном треугольнике два угла при основании всегда равны, а угол при вершине может отличаться.

✗ Ошибка 2: Забывают, что сумма всех углов = 180°.

✓ Правильно: Всегда проверяйте: α + β + β = 180°

✗ Ошибка 3: Делят сумму двух углов не поровну, когда нужно найти каждый из них.

✓ Правильно: Если два угла равны и их сумма известна, делите сумму на 2.

Расчёты углов равнобедренного треугольника основаны на фундаментальной теореме геометрии. Если вы работаете с конкретными треугольниками, используйте онлайн-калькулятор для проверки результатов.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.