Вычислим корень

Узнайте, как вычислить корень любой степени — квадратный, кубический и выше. На странице представлен интерактивный калькулятор, математические формулы, пошаговые алгоритмы и практические примеры для быстрого расчета.

Обновлено:

Содержание статьи
Введите число. Для нечётных степеней допустимы отрицательные значения
Степень корня (2 для квадратного, 3 для кубического)

Что такое корень и его обозначение

Корень — это математическая операция, обратная возведению в степень. Если число b возведённое в степень n равно a (bⁿ = a), то b является корнем n-й степени из a.

Обозначение: ⁿ√a, где:

Виды корней

Квадратный корень (n = 2)

Самый распространённый вид. Обозначается √a (без указания двойки).

Кубический корень (n = 3)

Обозначается ³√a.

Корни высших степеней

Корень n-й степени: ⁿ√a.

Основные формулы и свойства

Определение через степень:

$$^n\sqrt{a} = a^{1/n}$$

Произведение корней:

$$^n\sqrt{a \cdot b} = ^n\sqrt{a} \cdot ^n\sqrt{b}$$

Частное корней:

$$^n\sqrt{a / b} = ^n\sqrt{a} / ^n\sqrt{b}$$

Корень из корня:

$$^m\sqrt{^n\sqrt{a}} = ^{m \cdot n}\sqrt{a}$$

Возведение корня в степень:

$$(^n\sqrt{a})^k = a^{k/n}$$

Методы вычисления корня

Метод подбора

Найдите числа, степени которых близки к исходному. Для √50:

Метод Ньютона (итеративный)

Формула:

$$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)$$

Где a — число, x₀ — начальное приближение.

Пример для √16:

  1. x₀ = 4 → x₁ = (4 + 16/4)/2 = 4 ✓

Логарифмический способ

$$^n\sqrt{a} = e^{\frac{\ln(a)}{n}}$$

Используется в расчётах, когда числа очень большие.

Практические примеры

Пример 1: вычислить √81

$$\sqrt{81} = 9$$

Проверка: 9² = 81 ✓

Пример 2: вычислить ³√125

$$^3\sqrt{125} = 5$$

Проверка: 5³ = 125 ✓

Пример 3: вычислить ⁴√256

$$^4\sqrt{256} = 4$$

Проверка: 4⁴ = 256 ✓

Пример 4: упростить √18

$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \approx 4,24$$

Ограничения

Применение

Вычисление корней используется в:

Используйте калькулятор выше для быстрого и точного вычисления корня любой степени.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить квадратный корень числа?

Квадратный корень из числа a — это число b, которое при возведении в квадрат дает a (b² = a). Например, √16 = 4, так как 4² = 16. Используйте калькулятор выше или извлекайте корень методом подбора или через логарифм.

Какая формула для вычисления корня степени n?

Корень n-й степени из числа a: ⁿ√a = a^(1/n). Например, ³√27 = 27^(1/3) = 3. Это можно вычислить через возведение в дробную степень.

Как вычислить кубический корень?

Кубический корень — это корень 3-й степени. ³√a = b означает, что b³ = a. Например, ³√64 = 4, так как 4³ = 64. Используйте калькулятор или метод подбора.

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

Из отрицательного числа можно извлечь корень нечётной степени. Например, ³√(-8) = -2. А корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Какой метод вычисления корня самый точный?

Для точного вычисления используйте метод Ньютона (итеративный) или калькулятор. Метод Ньютона: xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ)/2, где a — число под корнем. После нескольких итераций получите нужную точность.

Как вычислить корень вручную без калькулятора?

Используйте метод подбора или вычисления через логарифмы. Для квадратного корня: найдите числа, квадраты которых близки к исходному числу. Например, √50: 7² = 49, 8² = 64, значит √50 ≈ 7,07.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.